Question

四面体A-BCD的棱长均为a，E，F分别为棱BC，AD的中点
（1）求异面直线CF和BD所成的角的余弦值．
（2）求CF和ED所成的角．

Answer 1

分析：（1）设G为AB中点，连接CG，GF则BD∥GF，∠GFC为异面直线CF和BD所成的角，在△GFC中求解即可．
（2）连接AE，设H为AE中点，连接HF，则HF∥ED，∠HFC为CF和ED所成的角，在△HFC中求解即可．

解答：解：不妨设a=2，
（1）设G为AB中点，连接CG，GF则BD∥GF，∠GFC为异面直线CF和BD所成的角．
∵GF=

1

2

BD=1，CG=CF=

CD2-DF2

=

4-1

=

3

，
在△GFC中，由余弦定理得cos∠GFC=

CF2+GF2-GC2

2CF•GF

=

1

2× 3

=

3

6

异面直线CF和BD所成的角的余弦值为

3

6

．
 

（2）连接AE，设H为AE中点，连接HF，则HF∥ED，∠HFC为CF和ED所成的角．
在△AHC中，AH=

1

2

AE=

1

2

AC2-CE2

=

3

2

，则HC²=AH²+AC²-2AH×ACcos30°=

7

4

．
在△HFC中，HF=

1

2

DE=

1

2

DC2-CE2

，CF=

3

，
由余弦定理得cos∠HFC=

CF2+HF2-HC2

2CF•HF

=

3 2+( 3 2 )2- 7 4

2 3 • 3 2

=

2

3

∴CF和ED所成的角为arccos

2

3

．

点评：本题考查异面直线夹角的大小计算．应首先根据定义找出或作出夹角的平面角，在去解三角形求得．