Question

【题目】已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于，两点.试探究以线段为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

（1）由椭圆离心率结合得到a,b,c之间的关系，计算焦点到直线的距离得到a,b的值，从而得到椭圆方程;（2）当直线l斜率不存在时，得到为直径的圆的方程，当直线l斜率为0时，得到为直径的圆的方程，从而得到两圆的交点Q，然后只需证明当直线的斜率存在且不为0时为直径的圆恒过点Q即可.

解：（1） 由题意，，，所以，.

又，，所以，，故椭圆的方程为

（2）当轴时，以为直径的圆的方程为

当轴时，以为直径的圆的方程为.

可得两圆交点为．

由此可知，若以为直径的圆恒过定点，则该定点必为．

下证符合题意．

设直线的斜率存在，且不为0，则方程为，代入

并整理得， 设，，

则， ，

所以

故，即在以为直径的圆上．

综上，以为直径的圆恒过定点．