Question

【题目】四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD是正三角形，，E为AD的中点，二面角为．

证明：平面PBE；

求点P到平面ABCD的距离；

求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）（3）

【解析】

推导出，，由此能证明平面PBE．

由平面PBE，得，从而是二面角的平面角，，推导出平面平面ABCD，作，垂足为F，则平面ABCD，由此能求出点P到面ABC的距离．

以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面PAB所成角的正弦值．

证明：是正三角形，E为AD中点，

，

，PE与PB是平面PBE内的两条相交线，

平面PBE．

解：平面PBE，平面PBE，

，

是二面角的平面角，，

平面PBE，平面ABCD，

平面平面ABCD，

作，垂足为F，则平面ABCD，

，

点P到面ABC的距离为．

，E为AD中点，

，即为正三角形，

以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则0，，，，0，，

，，0，，

设y，是平面ABP的一个法向量，

则，取，得，

，与平面APB所成的角和BC与平面APB所成的角相等，

设BC与平面APB所成角为，

．

直线BC与平面PAB所成角的正弦值为．