【题目】已知椭圆的离心率
,且椭圆
与圆
的4个交点恰为一个正方形的4个顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点为椭圆
的下顶点,
为椭圆
上与
不重合的两点,若直线
与直线
的斜率之和为
,试判断是否存在定点
,使得直线
恒过点
,若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2) 存在定点
,使得直线
恒过点
【解析】试题分析:(1)第(1)问,直接根据已知条件得到关于a,b的一个方程组,再解方程组即可. (2)第(2)问,对直线的斜率分两种情况讨论.每一种情况都要先根据已知条件求直线DE的方程,再判断其方程是否过定点.
试题解析:
(1)因为椭圆的离心率
,
所以,即
,
因为椭圆与圆
的4个交点恰为一个正方形的4个顶点,
所以直线与圆
的一个交点
在椭圆
上,所以
,
由解得
,所以椭圆
的标准方程为
.
(2)由(1)知,
当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
代入得,
,
所以,即
.
设,则
,
因为直线与直线
的斜率之和为
,所以
,
整理得,所以直线
的方程为
,
显然直线经过定点
.
当直线的斜率不存在时,设直线
的方程为
,
因为直线与直线
的斜率之和为
,设
,则
,
所以,解得
,
此时直线的方程为
,显然直线
经过定点
.
综上,存在定点,使得直线
恒过点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形,侧面PAD是正三角形,
,E为AD的中点,二面角
为
.
证明:
平面PBE;
求点P到平面ABCD的距离;
求直线BC与平面PAB所成角的正弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线:
,若存在实数
使得一条曲线与直线
有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于
,则称此曲线为直线
的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程:
①;②
;③
;④
.
其中直线的“绝对曲线”的条数为( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量
(单位:
)和年利润
(单位:千元)的影响,对近13年的宣传费
和年销售量
数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
由散点图知,按建立
关于
的回归方程是合理的.令
,则
,经计算得如下数据:
| |||||
10.15 | 109.94 | 0.16 | -2.10 | 0.21 | 21.22 |
(1)根据以上信息,建立关于
的回归方程;
(2)已知这种产品的年利润与
的关系为
.根据(1)的结果,求当年宣传费
时,年利润的预报值是多少?
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线
相切.
(1)求圆O的方程.
(2)直线与圆O交于A,B两点,在圆O上是否存在一点M,使得四边形
为菱形?若存在,求出此时直线l的斜率;若不存在,说明理由.
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