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    【题目】已知函数.

    （1）当时，试判断函数的单调性；

    （2）若，求证：函数在上的最小值小于.

    【答案】(1) 函数在上单调递増(2)见解析

    【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再利用二次求导求函数的单调性. (2)第（2）问，对a分类讨论，再利用导数求出求每一种情况下函数的单调性，从而证明函数在上的最小值小于.

    试题解析：

    （1）由题可得，

    设，则，

    所以当时， 在上单调递增，

    当时， 在上单调递减，

    所以，因为，所以，即，

    所以函数在上单调递増.

    （2）由（1）知在上单调递増，

    因为，所以，

    所以存在，使得，即，即，

    所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时

    ，

    令，则恒成立，

    所以函数在上单调递减，所以，

    所以，即当时，

    故函数在上的最小值小于.

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    【题目】已知函数.

    （Ⅰ）当时，求的最小值.

    （Ⅱ）若在区间上有两个极值点，

    （i）求实数的取值范围；

    （ii）求证：.

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    【题目】某车间有5名工人其中初级工2人，中级工2人，高级工1人现从这5名工人中随机抽取2名．

    Ⅰ求被抽取的2名工人都是初级工的概率；

    Ⅱ求被抽取的2名工人中没有中级工的概率．

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    【题目】省环保厅对、、三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：

    城

    城

    城

    优（个）

    28

    良（个）

    32

    30

    已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录城市空气质量为优的数据的概率为0.2.

    （1）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在城中应抽取的数据的个数；

    （2）已知， ，求在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.

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    【题目】已知椭圆的离心率，且椭圆与圆的4个交点恰为一个正方形的4个顶点.

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）已知点为椭圆的下顶点， 为椭圆上与不重合的两点，若直线与直线的斜率之和为，试判断是否存在定点，使得直线恒过点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

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    【题目】为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.

    （1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）

    （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（， 约为19.3）.

    按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）

    已知市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？

    （说明： 表示的概率， 用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里.相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据： ， ， ）.

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    【题目】已知函数（是自然对数的底数）

    （1）判断函数极值点的个数，并说明理由；

    （2）若， ，求的取值范围.

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    【题目】已知点， 为椭圆:上异于点A,B的任意一点．

    （Ⅰ）求证：直线、的斜率之积为-；

    （Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点、，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

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    【题目】如图，正方体的棱长为4，M为底面ABCD两条对角线的交点，P为平面内的动点，设直线PM与平面所成的角为，直线PD与平面所成的角为若，则动点P的轨迹长度为______．

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