Question

椭圆W：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4，短轴长为2，O为坐标原点．
（1）求椭圆W的方程；
（2）设A，B，C是椭圆W上的三个点，判断四边形OABC能否为矩形？并说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆W：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4，短轴长为2，求出c，b，可得a，即可求椭圆W的方程；
（2）设AC：y=kx+m，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由条件OA⊥OC，得x₁x₂+y₁y₂=0，结合韦达定理，及矩形的性质，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意，椭圆W：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4，短轴长为2，
∴2c=4，2b=2，
∴c=2，b=1，
∴a=

b2+c2

=

5

，
∴椭圆W的方程为

x2

5

+y2=1；
（2）设AC：y=kx+m，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），AC的中点M（x₀，y₀），B（x₃，y₃），
直线代入抛物线方程可得（1+5k²）x²+10kmx+5m²-5=0，
∴△=（10km）²-4（1+5k²）（5m²-5）＞0，
x₁+x₂=-

10km

1+5k2

，x₁x₂=

5m2-5

1+5k2

．（1）
由条件OA⊥OC，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
整理得（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
将（1）式代入得6m²=5k²+5                                   （2）
又x₀=

x1+x2

2

=-

5km

1+5k2

，y₀=kx₀+m=

m

1+5k2

且M同时也是OB的中点，∴x₃=2x₀，y₃=2y₀，
∵B在椭圆上，∴x32+5y32=5，
即 4x02+20y02=5，
代入整理可得4m²=5k²+1                            （3）
由（2）（3）解得m²=2，k²=

7

5

，
验证知△=120＞0，
∴四边形OABC可以为矩形．

点评：本题考查椭圆方程，探讨了以坐标原点O为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的矩形问题，着重考查了矩形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．