Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且经过点P（1，

3

2

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M．问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？
（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的离心率和经过点P建立关于a，b的方程组，解之即可求出椭圆的标准方程；
（2）设M（x₀，y₀），则

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，求出圆M的方程，令x=0，化简得到关于y的方程，然后利用判别式△＞0，可求出x₀的范围．
（3）设D（0，y₁），E（0，y₂），其中y₁＜y₂．由（2），得DE=y₂-y₁转化成关于x₀的二次函数求最值进行求解即可．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且经过点P（1，

3

2

），
∴

a2-b2 a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1

，即

3a2-4b2=0 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得

a2=4 b2=3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）易求得F（1，0）．设M（x₀，y₀），则

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，-2≤x₀≤2
圆M的方程为（x-x₀）²+（y-y₀）²=（1-x₀）²+y₀²，
令x=0，化简得y²-2y₀y+2x₀-1=0，△=4y₀²-4（2x₀-1）＞0①．
将y₀²=3（1-

x 2 0

4

）代入①，得3x₀²+8x₀-16＜0，解出-4＜x₀＜

4

3

．
∴-2≤x₀＜

4

3

．
（3）设D（0，y₁），E（0，y₂），其中y₁＜y₂．由（2），得
DE=y₂-y₁=

4y 2 0 -4(2x0-1)

=

-3 x 2 0 -8x0+16

=

-3(x0+ 4 3 ) 2+ 64 3

，
当x₀=-

4

3

时，DE的最大值为

8 3

3

．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系和线段的最值问题，是一道综合题，有一定的难度．