Question

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x-2y=0上，则此椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立

y=-x+1 x-2y=0

，得到线段AB的中点为（

2

3

，

1

3

），设y=-x+1与

x2

a2

+

y2

b2

=1的交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法能求出椭圆的离心率．

解答： 解：联立

y=-x+1 x-2y=0

，得x=

2

3

，y=

1

3

，
∴直线y=-x+1与x-2y=0的交点为M(

2

3

，

1

3

)，∴线段AB的中点为（

2

3

，

1

3

），
设y=-x+1与

x2

a2

+

y2

b2

=1的交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4

3

，y1 +y2=

2

3

，
分别把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，得：

x12 a2 + y12 b2 =1 x22 a2 + y22 b2 =1

，两式相减，
得

(y1-y2)•(y1+y2)

(x1-x2)•(x1+x2)

=-

1

2

=-

b2

a2

，
a²=2b²，∴a=

2

b=

2

c，∴e=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．