Question

（2012•三明模拟）已知抛物线Γ：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆4x²+20y²=5的右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；
（Ⅱ）动直线l恒过点M（0，1）与抛物线Γ交于A、B两点，与x轴交于C点，请你观察并判断：在线段MA，MB，MC，AB中，哪三条线段的长总能构成等比数列？说明你的结论并给出证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化椭圆方程为标准方程，确定椭圆的右焦点，可得抛物线的焦点，进而可得抛物线的方程；
（Ⅱ）解法一：设直线l的方程代入到抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式，确定线段MA，MB，MC，AB的长，计算可得结论；
解法二：利用向量的方法，确定M、A、B三点共线，且|

MA

|•|

MB

|=1+

1

k2

=|MC|²．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆方程为：

x2

5 4

+

y2

1 4

=1，∴a2=

5

4

，b2=

1

4

，…（2分）
∴c²=1，即椭圆的右焦点为（1，0），
因为抛物线的焦点为（

p

2

，0），所以p=2，…（3分）
所以抛物线的方程为y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）解法一：设直线l：y=kx+1（k≠0），则C（-

1

k

，0），
由

y=kx+1 y2=4x

得k²x²+2（k-2）x+1=0，…（6分）
因为△=4（k-2）²-4k²＞0，所以k＜1，…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

2(k-2)

k2

，x1x2=

1

k2

，…（8分）
所以由弦长公式得：|MA|=

1+k2

|x1|，|MB|=

1+k2

|x2|，|MC|=

1+k2

•|

1

k

|，|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

4 1-k

k2

，…（10分）
|MA|•|MB|=（1+k²）•|x₁x₂|=（1+k²）•

1

k2

=|MC|²．…（11分）
若|MA|•|MB|=|AB|²，则k=-8±4

2

，不满足题目要求．…（12分）
所以存在三线段MA、MC、MB的长成等比数列．…（13分）
解法二：同法一得x1x2=

1

k2

，…（8分）
而

MA

•

MB

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=（x₁，kx₁）•（x₂，kx₂）
=（1+k²）x₁x₂=(1+k2)•

1

k2

=1+

1

k2

，
因为C（-

1

k

，0），所以|MC|²=1+

1

k2

．…（10分）
因为M、A、B三点共线，且向量

MA

、

MB

同向，
所以

MA

•

MB

=|

MA

|•|

MB

|•cos0°=|

MA

|•|

MB

|，…（11分）
因此|

MA

|•|

MB

|=1+

1

k2

=|MC|²．
所以存在三线段MA、MC、MB的长成等比数列．…（13分）

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查抛物线的方程，考查直线与武平县的位置关系，考查韦达定理的运用，考查等比数列的判定，属于中档题．