Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-a|．
（I）若不等式f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a，m的值．
（II）当a=2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）（t≥0）．

Answer 1

分析：（I）根据绝对值不等式的解法，我们可得f（x）≤m的解集a-m≤x≤a+m，再由已知中f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，由此可以构造一个关于a，m的二元一次方程组，解方程组，即可得到答案．
（II）当a=2时，f（x）+t≥f（x+2t）可以转化为|x-2+2t|-|x-2|≤t，分t=0，t＞0两种情况，分别解不等式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由|x-a|≤m得a-m≤x≤a+m，
所以

a-m=-1 a+m=5

解之得

a=2 m=3

为所求．…（3分）
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x-2|，
所以f（x）+t≥f（x+2t）?|x-2+2t|-|x-2|≤t，①
当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；
当t＞0时，不等式①?

x＜2-2t 2-2t-x-(2-x)≤t

或

2-2t≤x＜2 x-2+2t-(2-x)≤t

或

x≥2 x-2+2t-(x-2)≤t

解之得x＜2-2t或2-2t≤x≤2-

t

2

或x∈?，即x≤2-

t

2

；
综上，当t=0时，原不等式的解集为R，
当t＞0时，原不等式的解集为{x|x≤2-

t

2

}．…（10分）

点评：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，其中根据“大于看两边，小于看中间”或“零点分段法”去掉绝对值符号，将原不等式转化为整式不等式，是解答本题的关键．