Question

已知椭圆，、是其左右焦点，离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若、分别是椭圆长轴的左右端点，为椭圆上动点，设直线斜率为，且，求直线斜率的取值范围；
（3）若为椭圆上动点，求的最小值.

Answer 1

（1）椭圆的方程为；（2）直线的斜率的取值范围是；
（3）的最小值是.

试题分析：（1）利用离心率以及确定、之间的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆的方程求出、，从而确定椭圆的标准方程；（2）设直线的斜率为，并设点的坐标为，利用点在椭圆上以及斜率公式得到，进而利用的取值范围可以求出的取值范围；（3）利用已知条件，利用余弦定理得到，结合基本不等式求出的最小值.
试题解析：（1），故椭圆的方程为；
（2）设的斜率为，设点，
则，，
及，
则＝ 又，
，故斜率的取值范围为；
（3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为、、，则有
，，，，
由椭圆定义，有，
 



的最小值为.
（当且仅当时，即取椭圆上下顶点时，取得最小值）