Question

已知椭圆的焦点为，，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过的直线与椭圆交于、两点，问在椭圆上是否存在一点，使四边形为平行四边形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）椭圆的方程为；（Ⅱ）存在符合条件的直线的方程为：．

试题分析：（Ⅰ）已知椭圆的焦点为，，且经过点，求椭圆的方程，显然，而正好是过焦点，且垂直于轴的弦的端点，故，再由，解出即可；（Ⅱ）设过的直线与椭圆交于、两点，问在椭圆上是否存在一点，使四边形为平行四边形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由，此题是探索性命题，一般都是假设存在符合条件的点，根据题意，若能求出直线的方程，就存在，若不能求出直线的方程，就不存在，此题设直线的方程为，代入方程得的中点为 ， 由于四边形为平行四边形，与的中点重合，得点坐标，代入椭圆方程求出的值，从而得存在符合条件的直线的方程为：．
试题解析：（Ⅰ）                       3分
，                                       5分
 椭圆的方程为                         7分
（Ⅱ）假设存在符合条件的点,
设直线的方程为                          8分
由得:，，
，
的中点为                   10分
四边形为平行四边形，与的中点重合，即：
                             13分
把点坐标代入椭圆的方程得:
解得                                         14分
存在符合条件的直线的方程为：       15分