练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件:对任意的实数x1,x2都有

    λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,

    其中λ是大于0的常数,设实数a0,a,b满足f(a0)=0和b=a-λf(a).

    (1)证明λ≤1,并且不存在b0≠a0,使得f(b0)=0;

    (2)证明(b-a0)2≤(1-λ2)(a-a0)2;

    (3)证明［f(b)］2≤(1-λ2)［f(a)］2.

    思路分析:(1)利用不等式的传递性及反证法证明;(2),(3)都是由构造法,结合不等式的传递性证明.

    证明:(1)任取x1,x2∈R,x1≠x2,

    则由λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］①

    和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,②

    可知,λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］≤|x1-x2|·|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|2,

    从而λ≤1.

    假设有b0≠a0,使得f(b0)=0,

    则由①式知0＜λ(a0-b0)2≤(a0-b0)［f(a0)-f(b0)］=0,矛盾.

    所以不存在b0≠a0,使得f(b0)=0.

    (2)由b=a-λf(a),③

    可知(b-a0)2=［a-a0-λf(a)］2=(a-a0)2-2λ(a-a0)f(a)+λ2［f(a)］2.④

    由f(a0)=0和①式,得(a-a0)f(a)=(a-a0)［f(a)-f(a0)］≥λ(a-a0)2.⑤

    由f(a0)=0和②式知,［f(a)］2=［f(a)-f(a0)］2≤(a-a0)2.⑥

    则将⑤⑥代入④式,得(b-a0)2≤(a-a0)2-2λ2(a-a0)2+λ2(a-a0)2=(1-λ2)(a-a0)2.

    (3)由③式,可知［f(b)］2=［f(b)-f(a)+f(a)］2

    =［f(b)-f(a)］2+2f(a)［f(b)-f(a)］+［f(a)］2

    ≤(b-a)2-2·［f(b)-f(a)］+［f(a)］2

    =λ2［f(a)］2-(b-a)［f(b)-f(a)］+［f(a)］2

    ≤λ2［f(a)］2-·λ·(b-a)2+［f(a)］2

    =λ2［f(a)］2-2λ2［f(a)］2+［f(a)］2

    =(1-λ2)［f(a)］2.

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
    （1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
    （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型：022

    已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

    已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
    A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
    B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
    C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
    D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案