Question

某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．
（1）求这组数据的平均数M；
（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．

Answer 1

分析：（I）根据频率分布直方图可知，各个小组的频率，再根据平均数的求法即可解出这组数据的平均数M．
（II）本题是一个等可能事件的概率，可以列举出从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法，满足条件的事件是两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，根据等可能事件的概率公式得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：90～100分的频率为0.1，100～110分的频率为0.25，110～120分的频率为0.45，120～130分的频率为0.15，130～140分的频率为0.05；
∴这组数据的平均数M=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113（分）
（Ⅱ）∵第五组130～140分数段的人数为2人，频率为0.05；
故参加的总人数为 2÷0.05=40人．
第一组共有40×0.01×10=4人，记作A₁、A₂、A₃、A₄；
第五组共有2人，记作B₁、B₂
从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A₁，A₂}、{A₁，A₃}、
{A₁，A₄}、{A₂，A₃}、{A₂，A₄}、{A₃，A₄}；{A₁，B₁}、{A₂，B₁}、{A₃，B₁}、
{A₄，B₁}；{A₁，B₂}、{A₂，B₂}、{A₃，B₂}、{A₄，B₂}；{B₁，B₂}．共有15种结果，
设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”．
若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，
故P（A）=

8

15

．

点评：本题考查用样本的频率分布估计总体的频率分布，考查等可能事件的概率，考查用列举法来数出事件数，这是一个概率与统计的综合题目．