Question

（2011•花都区模拟）已知函数f（x）=x²+alnx．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若g(x)=f(x)+

2

x

在[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）的导数，得到导数在x=1时为零．然后列表讨论函数在区间（0，1）和（1，+∞）上讨论函数的单调性，即可得到函数f（x）的单调区间和极值；
（2）g(x)=f(x)+

2

x

在[1，+∞）上是单调函数，说明g（x）的导数g'（x）在区间[1，+∞）恒大于等于0，或g'（x）在区间[1，+∞）恒小于等于0．然后分两种情况加以讨论，最后综合可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）易知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
当a=-2时，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

．…（2分）
当x变化时，f'（x）和f（x）的值的变化情况如下表：…（4分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞），极小值是f（1）=1．…（8分）
（2）由g(x)=x2+alnx+

2

x

，得g′(x)=2x+

a

x

-

2

x2

．…（9分）
又函数g(x)=x2+alnx+

2

x

为[1，+∞）上单调函数，
①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，
则g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立，
而φ（x）=

2

x

-2x2在[1，+∞）上的最大值为φ（1）=0，所以a≥0．…（12分）
②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，
根据①，在[1，+∞）上φ（x）_max=φ（1）=0，φ（x）没有最小值．…（13分）
所以g'（x）≤0在[1，+∞）上是不可能恒成立的．…（15分）
综上，a的取值范围为[0，+∞）．…（16分）

点评：本题是一道导数的应用题，着重考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数恒成立等知识点，属于中档题．