Question

已知函数f（x）=ln（x+1），x∈（0，+∞），下列结论错误的是（　　）

• A、?x₁，x₂∈（0，+∞），（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]≥0
• B、?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，+∞），x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）
• C、?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，+∞），f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁
• D、?x₁，x₂∈（0，+∞），

  f(x1)+f(x2)

  2

  ＞f(

  x1+x2

  2

  )

Answer 1

分析：利用函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，且增长越来越缓慢，横坐标越大的点与原点连线的斜率越小，
ln（x+1）-x为减函数，曲线y=f（x）图象上连接任意两点线段中点在曲线下方，可得：A、B、C正确，
D不正确．

解答：解：因为函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]≥0，故A正确．
由于x2f(x1)＞x1f(x2)?

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，将k=

f(x)

x

视为曲线y=f（x）上的点与原点连线斜率，
结合函数图象特征可知横坐标越大，斜率越小，?x₁∈（0，+∞），?x₂＞x₁满足条件，故B正确．
当x∈（0，+∞）时，y=f（x）-x=ln（x+1）-x为减函数，?x₁∈（0，+∞），?x₂＞x₁，
f（x₂）-x₂＜f（x₁）-x₁，故C正确．
由于曲线y=f（x）图象上连接任意两点线段中点在曲线下方，?x₁，x₂∈（0，+∞），

f(x1)+f(x2)

2

≤f(

x1+x2

2

)，故D错误．
故选D．

点评：本题考查函数的单调性，函数的图象特征，直线的斜率公式的应用．