Question

已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x²+2xf′（1）．
（1）求f′（1）的值；
（2）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数，取x=1后求出f′（1）的值；
（2）把f′（1）=-6代入f（x）=3x²+2xf′（1）求出函数解析式，得到f（1）的值，然后由点斜式写出切线方程．

解答：解：（1）∵f（x）=3x²+2xf′（1），
∴f′（x）=6x+2f′（1）
∴f′（1）=6×1+2f′（1）
∴f′（1）=-6；
（2）把f′（1）=-6代入f（x）=3x²+2xf′（1），得
f（x）=3x²-12x，∴f（1）=3-12=-9，
故所求切线方程为y+9=-6（x-1）．
即y=-6x-3．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了导数的运算，关键是对f′（1）的求解，是中档题．