Question

设抛物线y²=2px（p＞0）上有两动点A、B，F为焦点，且|

AF

|+|

BF

|=8，且线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6，0）．
（1）求抛物线方程；
（2）求△AQB面积最大值．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀），利用抛物线方程与直线的斜率公式，算出M的坐标关于AB斜率k和p的式子，根据AB的中垂线线恒过定点Q（6，0）利用斜率公式建立关于p的等式，解出p值即可得到抛物线方程；
（2）由抛物线方程和直线AB方程消去x，得y²-2y₀y+2y₀²-16=0，从而算出|y₁-y₂|=

64-4y02

，由△AQB在x轴上截得的线段|QD|=4+

1

4

y02，得到△AQB面积S关于y₀的表达式，再利用基本不等式求最值即可算出△AQB面积最大值．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），
①当直线AB的斜率存在时，设斜率为k，则
由|AF|+|BF|=8得x₁+x₂+p=8，∴x₀=4-

p

2

又∵y₁²=2px₁且y₂²=2px₂，∴y₁²-y₂²=2p（x₁-x₂）
可得k=

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

=

p

y0

，解出y₀=

p

k

，得M（4-

p

2

，

p

k

），
∵线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6，0），
∴

p k

4- p 2 -6

•k=-1，解之得p=4，可得抛物线方程为y²=8x，
②当直线的斜率不存在时，可得|

AF

|+|

BF

|=2p=8，
也满足抛物线方程为y²=8x．
综上所述，可得抛物线方程为y²=8x；
（2）当直线的斜率存在时，由x₀=4-

p

2

=2，得M（2，y₀）
∵AB斜率k=

p

y0

，∴直线AB方程为y-y₀=

p

y0

（x-2）
令y=0，解出直线与x轴的交点为D（2-

1

4

y02，0），
∵由y²=8x和y-y₀=

p

y0

（x-2）消去x，得：y²-2y₀y+2y₀²-16=0，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4y02-4(2y02-16)

=

64-4y02

，
∵|QD|=6-（2-

1

4

y02）=4+

1

4

y02，
∴△AQB面积为S=

1

2

|QD|•|y₁-y₂|=

1

2

（4+

1

4

y02）•

64-4y02

=

1

4 2

(16+y02)(16+y02)(32-2y02)

∵

(16+y02)(16+y02)(32-2y02)

≤

[ 1 3 (16+y02)+(16+y02)+(32-2y02)]3

=

512 3

9

，
∴S=

1

4 2

(16+y02)(16+y02)(32-2y02)

≤

1

4 2

•

512 3

9

=

64 6

9

．
当直线的斜率不存在时，直线AB的方程为x=2且|AB|=8，
可得△ABS面积S=

1

2

×8×4=16＜

64 6

9

．
∴△AQB面积最大值为

64 6

9

．

点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线方程并求三角形面积的最大值．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和三角形面积求法等知识，属于中档题．