Question

已知函f（x）=x³+ax²+bx+5，若x=，y=f（x） 有极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．
（3）函数y=f（x）-m有三个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）对其进行求导，根据题意曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，可得f′（1）=3，若x=，y=f（x） 有极值可f′（）=0，由此可以求出f（x）的解析式；
（2）对f（x）进行求导，解出其极值点，利用导数研究其单调性，从而也可以利用导数研究函数的最值问题；
（3）函数y=f（x）-m有三个零点，可以转化为y=f（x）与y=m交于3点，利用数形结合的方法进行求解，求出m的取值范围；
解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，…（1分）
由题意，得，解得；
所以，f（x）=x³+2x²-4x+5，…（4分）
（2）由（1）知f（x）=3x³+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f′（x）=0，得x₁=-2，x₂=；           …（5分）

x	-4	（-4，-2）	-2	（-2，）		（，1）	1
f′（x）		+		-		+
f（x）		↗	极大值	↘	极小值	↗
函数值	-11		13				4

…（8分）
∴f（x）在[-4，-1]上的最大值为13，最小值为-11．…（9分）
（3）∵函数y=f（x）-m有三个零点，即f（x）=m，有三个交点，
可得f（x）的图象：如下图：

由上图y=m与函数f（x）有三个交点，
∴4＜m＜13，-11＜m＜，此时y=m与f（x）交于三点；
∴4＜m＜13 或-11＜m＜；
点评：此题主要考查利用导数研究函数的最值问题，难度比较大，利用数形结合的方法进行求解会比较简单，这也是高考的热点问题，是一道难题；