Question

7．一个几何体的三视图如图．该几何体的各个顶点都在球O的球面上，球O的体积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$π
• B． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$π
• C． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• D． $\frac{10\sqrt{2}}{3}$π

Answer 1

分析 几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为等腰直角三角形，取O为SC的中点，可证OS=OC=OA=OB，由此求得外接球的半径，代入球的体积公式计算．

解答 解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2，
底面为等腰直角三角形，如图：SA⊥平面ABC，SA=2，AC的中点为D，
在等腰直角三角形SAC中，取O为SC的中点，∴OS=OC=OA=OB，
∴O为三棱锥外接球的球心，R=$\sqrt{2}$，
∴外接球的体积V=$\frac{4}{3}$π×（$\sqrt{2}$）³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，判断几何体的特征性质及数据所对应的几何量是关键．