Question

下列命题：
①函数y=

x-2 x+2

的定义域是（-∞，-2]∪[2，+∞）；
②若函数y=f（x）在R上递增，则函数y=f（x）的零点至多有一个；
③若f（x）是幂函数，且满足

f(4)

f(2)

=3，则f（

1

2

）=

1

3

④式子(a-1)-

1

2

有意义，则a的范围是[1，+∞）；
⑤任意一条垂直于x轴的直线与函数y=f（x）的图象有且只有一个交点．
其中正确命题的序号是

②③

．

Answer 1

分析：①求出y=

x-2 x+2

的定义域；
②用反证法说明命题②正确；
③设出幂函数y=x^α，由

f(4)

f(2)

得f（

1

2

）的值；
④求出使(a-1)-

1

2

有意义a的取值范围；
⑤举反例说明命题⑤错误；

解答：①∵

x-2

x+2

≥0，∴x≥2或x＜-2，∴y=

x-2 x+2

的定义域是（-∞，-2）∪[2，+∞），∴命题①错误；
②假设y=f（x）的零点有两个，设为x₁≠x₂，则f（x₁）=f（x₂）=0，这与y=f（x）在R上递增矛盾，∴假设错误∴命题②正确；
③∵f（x）是幂函数，设y=x^α，由

f(4)

f(2)

=

4α

2α

=2^α=3，得f（

1

2

）=(

1

2

)α=

1

2α

=

1

3

，命题③正确；
④(a-1)-

1

2

=

1

a-1

有意义，则a-1＞0，∴a＞1，∴命题则④错误；
⑤∵直线x=0与函数y=

1

x

的图象无交点，∴命题⑤错误；
故答案为：②③

点评：本题通过命题真假的判定，考查了函数的性质与应用，是基础题．