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关于函数f(x)=sin2x-cos2x有下列命题:
①函数y=f(x)的周期为π;                
②直线x=
π
4
是y=f(x)图象的一条对称轴;
点(
π
8
,0)
是y=f(x)图象的一个对称中心;
(-
π
8
8
)
是函数y=f(x)的一个单调递减区间.
其中真命题的序号是
①③
①③
分析:直接求出函数的周期判断①的正误;x=
π
4
代入y=f(x)是否确定最值,判断②的正误;x=
π
8
时,函数是否为0,判断③的正误;求出函数的单调增区间即可判断④的正误;
解答:解:函数f(x)=sin2x-cos2x=sin(2x-
π
4
),
①函数y=f(x)的周期为π;是周期的;                
②直线x=
π
4
是y=f(x)图象的一条对称轴;因为函数得不到最值,所以不正确;
点(
π
8
,0)
是y=f(x)图象的一个对称中心;x=
π
8
时,y=0所以正确;
(-
π
8
8
)
是函数y=f(x)的一个单调递减区间.因为函数在[-
π
8
8
]
上是增函数,所以不正确;

故答案为:①③
点评:本题是基础题,考查三角函数的基本性质,对称性、单调性、周期、对称中心等,考查计算能力,逻辑推理能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上任一点P到两个焦点的距离的和为6,焦距为4
2
,A,B分别是椭圆的左右顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若P与A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,证明:k1•k2为定值;
(Ⅲ)设C(x,y)(0<x<a)为椭圆上一动点,D为C关于y轴的对称点,四边形ABCD的面积为S(x),设f(x)=
S2(x)
x+3
,求函数f(x)的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

有以下五个命题
①设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,
π
4
],则点P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为[0,
1
2a
];
②一质点沿直线运动,如果由始点起经过t称后的位移为s=
1
3
t3-
3
2
t2+2t
,那么速度为零的时刻只有1秒末;
③若函数f(x)=loga(x3-ax)(a>0,且a≠1)在区间(-
1
2
,0)
内单调递增,则a的取值范围是[
3
4
,1)

④定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+1)=-f(x),则f(x)的图象关于x=1对称;
⑤函数y=f(x-2)和y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称.其中正确的有
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:y=-t2+8t(其中0≤t≤2,t为常数);l2:x=2.若直线l1、l2与函数f(x)的图象以及l1、y轴所围成的封闭图形如阴影所示.
(1)求a,b,c的值;
(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;
(3)求函数S(t)的最大值、最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,l2:y=-t2+8t(其中0≤t≤2.t为常数);若直线l1、l2与函数f(x)的图象以及l1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
(Ⅰ)求a、b、c的值;
(Ⅱ)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;
(Ⅲ)若g(x)=6lnx+m,问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=ax3+
1
2
x2在x=-1处取得极大值,记g(x)=
1
f′(x)
.程序框图如图所示,若输出的结果S=
2013
2014
,则判断框中可以填入的关于n的判断条件是(  )

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