Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，直线l₁：y=-t²+8t（其中0≤t≤2，t为常数）；l₂：x=2．若直线l₁、l₂与函数f（x）的图象以及l₁、y轴所围成的封闭图形如阴影所示．
（1）求a，b，c的值；
（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
（3）求函数S（t）的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意建立关于a、b、c的方程组，解之即可得到a、b、c的值；
（2）联解方程组得出直线l₁与f（x）的图象的交点坐标，从而得到S（t）关于t的积分函数关系式，利用定积分计算公式即可算出S（t）=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

；
（3）求导数：S'（t）=-4t²+20t-16，列表给出导数的分布与原函数的单调性的关系，得到S（t）的单调增区间和减区间，从而得到函数S（t）的最大值、最小值．

解答：解：（1）根据题意，结合图形可得

c=0 a•82+b•8+c=0 4ac-b2 4a =16

，解之得：

a=-1 b=8 c=0

∴函数f（x）的解析式为f（x）=-x²+8x
（2）由

y=-t2+8t y=-x2+8x

，得x²-8x-t（t-8）=0，
∴x₁=t，x₂=8-t，
∵0≤t≤2．…（6分）
∴直线l₁与函数f（x）的图象的交点坐标为（t，-t²+8t），
由定积分的几何意义知：
S(t)=

∫

t 0

[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+

∫

2 t

[(-x2+8x)-(-t2+8t)]dx
=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

，（其中0≤t≤2）…（9分）
所以S(t)=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

（0≤t≤2）
（3）由（2）知，S'（t）=-4t²+20t-16，
令S'（t）=-4（t-1）（t-4）=0，得t=1，或t=4．
因此，当S'（t）＜0时，即有t＞4，或t＜1；…（11分）
当S'（t）＞0时，有1＜t＜4．所以，当t在[0，2]内变化时，S'（t），S（t）的变化情况如下表：

t	[0，1）	1	（1，4]
S'（t）	-	0	+
S（t）	单调递减	6	单调递增

因此，当时，S（t）有极小值，且极小值为S（1）=6，
又由于S(0)=

40

3

，S(2)=

32

3

…（14分）
因此S(t)=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

在[0，2]上的最大值是

40

3

，最小值是6．

点评：本题着重考查了二次函数的图象与性质、定积分的几何意义和定积分计算公式和利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题．