Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若f（0）=1，则f（2010）的值为（　　）

A．2010

B．2009

C．1

D．0

Answer 1

分析：先根据其为偶函数得到f（-3）=f（3）；再结合对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立求出f（3）=0；进而得到函数的周期为6．即可求出结论．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（-3）=f（3）；
∵对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3）⇒f（3）=f（-3）+f（3）⇒f（3）=2f（3）⇒f（3）=0．
∴f（x+6）=f（x）
∴周期T=6．
∴f（2010）=f（6×335）=f（0）=1．
故选C．

点评：本题主要考查函数的奇偶性以及周期性的应用．解决本题的关键在于先根据其为偶函数得到f（-3）=f（3）；再结合条件求出周期为6．