Question

已知O为坐标原点，

OA

=(-4，0)，

AB

=(8，0)，动点P满足|

PA

|+|

PB

|=10
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求

PA

•

PB

的最小值；
（3）若Q（1，0），试问动点P的轨迹上是否存在M、N两点，满足

NQ

=

4

3

QM

？若存在求出M、N的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆定义可知，动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且长轴长2a=10，根据椭圆的标准方程即可求出．
（2）点P与A，B显然构成焦点三角形，利用焦点三角形中三边关系，以及余弦定理，均值不等式，很容易求出

PA

•

PB

范围，进而求出最小值．
（3）先假设存在M、N两点，满足

NQ

=

4

3

QM

，再将过（1，0）的直线与椭圆联立，利用韦达定理找到关于m的方程，即可求解

解答：解（1）∵

OA

=(-4，0)，

AB

=(8，0)，
∴A（-4，0），B（4，0）．
又∵动点P满足|

PA

|+|

PB

|=10，
∴动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且长轴长2a=10∴a=5，b=3．
椭圆方程为

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB=|

PA

||

PB

|

| PA |2+| PB |2-4c2

2| PA || PB |

=2a²-2b²-|

PA

||

PB

|=18-|

PA

||

PB

|≥18-

(| PA |+| PB |)2

4

=-7，∴

PA

•

PB

的最小值为-7
（3）假设存在M、N两点，满足

NQ

=

4

3

QM

，则M，Q，N共线，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

NQ

=

4

3

QM

，可得

1-x2= 4 3 x1-1 -y2= 4 3 y1

，∴y2=-

4

3

y1．①
设方程为x=my+1，代入椭圆方程，化简得，（9m²+25）y²+18my-216=0，
y₁+y₂=-

18m

9m2+25

，y₁y₂=-

216

9m2+25

，把①代入，得y₁=

54m

9m2+25

，y₁²=

162

9m2+25

∴m=

5

3

或-

5

3

点评：此题综合考查了椭圆的定义、焦点三角形的应用，重点考查了直线与椭圆的关系，解题时要耐心细致，重点掌握．