Question

【题目】甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题为体现公平，制定如下规则：

①第一轮回答顺序为甲、乙、丙；第二轮回答顺序为乙、丙、甲；第三轮回答顺序为丙，甲、乙；第四轮回答顺序为甲、乙、丙；…，后面按此规律依次向下进行；

②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出.

已知，每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立.

（1）求一轮中三人全回答正确的概率；

（2）分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；

（3）记为甲在第轮胜出的概率，为乙在第轮胜出的概率，求与，并比较与的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）甲在第一轮胜出的概率为；甲在第二轮胜出的概率为；甲在第三轮胜出的概率为；（3）答案见解析.

【解析】

(1)由事件的独立性可求出一轮中三人全回答正确的概率.

(2)列举出三种情况下甲乙丙三人的胜负情况，结合事件的独立性即可求出概率.

(3)通过计算时甲、乙胜的概率，总结规律，求出，，进而可比较二者的大小关系.

解：（1）设一轮中三人全回答正确为事件，则.

（2）甲在第一轮胜出的概率为；

甲在第二轮胜出的概率为；

甲在第三轮胜出的概率为.

（3）由（2）知；；.

由题意得；；

；

….

所以，当（）时，.

当（）时，；

当（）时，.

同理可得，当（）时，；

当（）时，；

当（）时，.

所以，当（）时，；当（）时，；

当（）时，；