Question

【题目】设,函数,是函数的导函数, 是自然对数的底数.

(1)当时,求导函数的最小值;

(2)若不等式对任意恒成立,求实数的最大值;

(3)若函数存在极大值与极小值，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】分析：（1）先求导数，再求导函数的导数为，求零点，列表分析导函数单调性变化规律，进而确定导函数最小值取法，（2）先变量分离化简不等式，再利用导数研究单调性，根据单调性确定其最小值，即得实数的取值范围，进而得其最大值;（3）函数存在极大值与极小值，即存在两个零点，且在零点的两侧异号.先确定导函数不单调且最小值小于零，即得，再证明时有且仅有两个零点.

详解：解：

（1）当时，记

则，由得.

当时，，单调递减

当时，，单调递增

所以当时，

所以

（2）由得，即

因为，所以.

记，则

记，则

因为，所以且不恒为0

所以时，单调递增，

当时，，所以

所以在上单调递增，

因为对恒成立，

所以，即

所以实数的最大值为

（3）记，

因为存在极大值与极小值，

所以，即存在两个零点，且在零点的两侧异号.

①当时，，单调递增，

此时不存在两个零点；

②当时，由，得

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以

所以存在两个零点的必要条件为： ，即

由时，

(ⅰ)记，则

所以当时，单调递减，

当时，，所以.

所以在上，有且只有一个零点.

又在上单调，

所以在上有且只有一个零点，记为，

由在内单调递减，易得当时，函数存在极大值

（ⅱ）记，则

所以时，，所以

由（1）知时，有

所以在上单调递增，所以时,

因为且，的图像在单调且不间断，

所以在上，有且只有一个零点.

又在上单调

所以在上有且只有一个零点，记为，

由在内单调递增，易得当时，函数存在极小值

综上，实数的取值范围为.