Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，若直线l的参数方程为 （t为参数，α为l的倾斜角），曲线E的极坐标方程为ρ=4sinθ．射线θ=β，θ=β+ ，θ=β﹣ 与曲线E分别交于不同于极点的三点A、B、C．
（1）求证：|OB|+|OC|= |OA|；
（2）当β= 时，直线l过B、C两点，求y0与α的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意可知丨OA丨=4sinβ，丨OB丨=4sin（β+ ），丨OC丨=4sin（β﹣ ），

则丨OB丨+丨OC丨=4sin（β+ ）+4sin（β﹣ ）=4 sinβ= 丨OA丨，

（2）解：当β= 时，B点的极坐标为（4sin（ + ），（ + ）），

C的极坐标为（4sin（ ﹣ ），（ + ）），

转化成直角坐标B（﹣ ，1），C（ ，3），

则直线l的方程为x﹣ y+2 =0，

则y0=2，α= ．

【解析】（1）由题意可知求得丨OA丨，丨OB丨及丨OC丨，即可证明|OB|+|OC|= |OA|；（2）当β= 时，求得B和C点坐标，求得直线l的方程，即可求得y0与α的值．