Question

【题目】若存在不为零的常数，使得函数对定义域内的任一均有，则称函数为周期函数，其中常数就是函数的一个周期．

（Ⅰ）证明：若存在不为零的常数使得函数对定义域内的任一均有，则此函数是周期函数；

（Ⅱ）若定义在上的奇函数满足，试探究此函数在区间内的零点的最少个数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）4035个.

【解析】

试题（Ⅰ）由于存在不为零的常数a使得函数y=f（x）对定义域内的任一x均有，可得f（x+2a）=-f（x+a）=f（x），即可得出此函数是周期．
（Ⅱ）由于定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），于是函数f（x）是以2为周期的周期函数．由于f（0）=0，可得，即可得出此函数在区间内的零点的最少个数．

试题解析：

（Ⅰ）证明：因为存在不为零的常数使得函数对定义域内的任一均有，所以有：

即有：,

因此，函数是周期函数，且就是函数的一个周期.

（Ⅱ）解：因为定义在上的函数满足，

由⑴可知：函数是周期函数，且就是函数的一个周期,

即有

又因为函数是上的奇函数，所以。

且，所以 ……①

又，所以，

同理有： ……②

由①②有： 。又，

所以此函数在区间内的零点最少有个.