【题目】已知平面直角坐标系上一动点到点
的距离是点
到点
的距离的2倍。
(1)求点的轨迹方程;
(2)若点与点
关于点
对称,求
,
两点间距离的最大值。
(3)若过点的直线
与点
的轨迹
相交于
、
两点,
,则是否存在直线
,使
取得最大值,若存在,求出此时
的方程,若不存在,请说明理由。
【答案】(1);(2)14;(3)答案见解析.
【解析】试题分析:
(1)由题意结合点到直线距离公式可得关于x,y的等式,整理变形可得轨迹方程为,
(2)设,由对称性可得点Q的轨迹方程为圆
,则
;
(3)由题意知的斜率一定存在,设直线
的斜率为
,设
,
,
,联立直线与圆的方程可得
,满足题意时:
.由点到直线距离公式结合圆的弦长公式可得
,其中
,据此可得满足题意时直线的斜率为
,直线
的方程为
或
.
试题解析:
(1)由已知,,
∴,即
,
(2)设,因为点
与点
关于点
对称,
则点坐标为
,
∵点在圆上运动,∴点的轨迹方程为
,
即:,
;
(3)由题意知的斜率一定存在,设直线
的斜率为
,且
,
,
则,
联立方程:,
∴,
又∵直线不经过点
,则
.
∵点到直线
的距离
,
,
∴,
∵,
∴当时,
取得最大值2,此时,
,
∴直线的方程为
或
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP,E为棱PD中点.
(1)求证:PD⊥平面ABE;
(2)若F为AB中点, ,试确定λ的值,使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为-
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数 ;
(1)若函数 在
上为增函数,求正实数
的取值范围;
(2)当 时,求函数
在
上的最值;
(3)当 时,对大于1的任意正整数
,试比较
与
的大小关系.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种汽车购买时费用为16.9万元,每年应交付保险费、汽油费共0.9万元,汽车的维修保养费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,……依等差数列逐年递增.
(1)求该车使用了3年的总费用(包括购车费用)为多少万元?
(2)设该车使用年的总费用(包括购车费用)为
),试写出
的表达式;
(3)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知 ,函数
.
(Ⅰ)若,求函数
的值域;
(Ⅱ)若函数在
上不单调,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若是函数
(
为实数)的其中两个零点,且
,求当
变化时,
的最大值.
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