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    【题目】已知 ，函数.

    （Ⅰ）若,求函数的值域；

    （Ⅱ）若函数在上不单调，求实数的取值范围；

    （Ⅲ）若是函数（为实数）的其中两个零点，且，求当变化时， 的最大值.

    【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）4

    【解析】试题分析：（1）由，得然后分段求值域即可；（2）分类讨论a，明确函数的单调区间，从而得到实数的取值范围；(3) 对a的取值进行分类讨论，分别用a表示，分析其单调性后，可得的取值范围，进而得到最大值.

    试题解析：

    （Ⅰ）解：由，得当时， ，

    当时， ， 函数的值域是.

    （Ⅱ）解：

    当时，函数在上单调递增；当时，函数在， 上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增； .

    （III）解： 记， .当时，方程的根分别为

    ；当时，方程的根分别为. ， .

    （1）当时， ①当时，

    .

    ②当时，

    .

    （2）当时，

    .

    综上所述， 的最大值为4.

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