Question

14．过圆E：（x-1）²+y²=1上的点M（${\frac{3}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}}$）作圆的切线l，切线l与坐标轴的两个交点分别为椭圆C的两个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）圆E的切线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆的左焦点，求|AF|+|BF|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式即可得出．
（2）当直线AB的斜率不存在时，有两种情况：①切点为原点，切线为y轴，此时|AF|+|BF|=6；
②切点为圆E与x轴的另一交点N（2，0），此时直接得出；当斜率存在时，设方程为y=kx+m，因为与圆E相切，得$\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1，2km+{m^2}=1$，显然m≠0，$k=\frac{{1-{m^2}}}{2m}$，与椭圆的方程联立转化为根与系数的关系，再利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）设过点M的圆E的切线方程为$y-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=k（{x-\frac{3}{2}}）$，则圆心（1，0）到这条直线的距离是$d=\frac{{|{-\frac{1}{2}k+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，得$k=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴切线l方程为$y-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x-\frac{3}{2}}）$，当x=0时，$y=\sqrt{3}$，当y=0时，x=3．
由题意得，椭圆E的方程为：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）当直线AB的斜率不存在时，有两种情况：①切点为原点，切线为y轴，此时|AF|+|BF|=6；
②切点为圆E与x轴的另一交点N（2，0），此时$A（{2，\frac{{\sqrt{15}}}{3}}），B（{2，-\frac{{\sqrt{15}}}{3}}），|{AF}|+|{BF}|=2|{AF}|=2\sqrt{{{（{2+\sqrt{6}}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{15}}}{3}}）}^2}}=2\sqrt{\frac{{35+12\sqrt{6}}}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{105+36\sqrt{6}}＞6$．
当斜率存在时，设方程为y=kx+m，因为与圆E相切，得$\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1，2km+{m^2}=1$，显然m≠0，∴$k=\frac{{1-{m^2}}}{2m}$，
把y=kx+m代入$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-9=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{1+3{k^2}}}$，
又知椭圆C的离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴$|{AF}|+|{BF}|=\frac{{\sqrt{6}}}{3}（{{x_1}+{x_2}}）+6=\frac{{\sqrt{6}}}{3}×\frac{-6km}{{1+3{k^2}}}+6$=$-4\sqrt{6}×\frac{{-{m^2}+{m^2}}}{{3{m^4}-2{m^2}+3}}+6$，
令$t={m^2}（{t＞0}），g（t）=\frac{{-{t^2}+t}}{{3{t^2}-2t+3}}，g'（x）=\frac{{-{t^2}-6t+3}}{{{{（{3{t^2}-2t+3}）}^2}}}$，令t²+6t-3=0，解得$t=-3+2\sqrt{3}$或$t=-3-2\sqrt{3}$（舍去）．
当$t=-3+2\sqrt{3}$时，g（t）取得最大值，此时|AF|+|BF|取得最小值为$6+\frac{{\sqrt{6}-3\sqrt{2}}}{2}＜6$，故|AF|+|BF|取得最小值为$6+\frac{{\sqrt{6}-3\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．