Question

8．如图，边长为$\sqrt{2}$的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，CD=BC=$\frac{1}{2}$AB=1，点M在线段EC上．
（I）证明：平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）若EM=2MC，求平面BDM与平面ABF所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AD⊥BD，BD⊥ED，BD⊥ED，由此能证明面BDM⊥面ADEF．
（Ⅱ） 在面DAB内过点D作DN⊥AB，从而DN⊥CD，以D为坐标原点，DN所在的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BDM与平面ABF所成锐二面角的大小．

解答 证明：（Ⅰ）如图，∵DC=BC=1，DC⊥BC，∴BD=$\sqrt{2}$，
∵AD=$\sqrt{2}$，AB=2，∴AD²+BD²=AB²，
∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，
∵面ADEF⊥面ABCD，ED⊥AD，面ADEF∩面ABCD=AD，
∴ED⊥面ABCD，∴BD⊥ED，
∵AD∩DE=D，∴BD⊥ED，
∵AD∩DE=D，∴BD⊥面ADEF，又BD?面BDM，
∴面BDM⊥面ADEF．…（4分）
解：（Ⅱ）  在面DAB内过点D作DN⊥AB，
∵AB∥CD，∴DN⊥CD，
又∵ED⊥面ABCD，∴DN⊥ED，
以D为坐标原点，DN所在的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系  
 则$B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，\sqrt{2}），N（1，0，0）$ $M（0，\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{3}）$，…（5分）
设平面BMD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DM}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DB}=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}y+\frac{{\sqrt{2}}}{3}z=0\\ x+y=0\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），…（9分）
∵平面ABF的法向量$\overrightarrow{n_2}=（1，0，0）$，
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{1}{2}$，
平面BDM与平面ABF所成锐二面角是$\frac{π}{3}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．