Question

18．如图，三棱柱中ABC-A₁B₁C₁中，点A₁在平面ABC内的射影D是棱AC的中点，侧面AA₁C₁C为边长为2的菱形，且BC=1，∠ACB=90°．
（1）证明：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求锐二面角B-A₁C-B₁的大小．

Answer 1

分析 （（1）由A₁D⊥平面ABC得平面₁ACC₁⊥平面ABC，于是BC⊥平面A₁ACC₁，推出BC⊥AC₁，由菱形的性质可知A₁C⊥AC₁，于是AC₁⊥平面A₁BC．
（2）以D为原点，过D作CB的平行线为x轴，以DC为y轴，以DA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角B-A₁C-B₁的大小．

解答 证明：（1）∵A₁D⊥平面ABC，₁D?平面A₁ACC₁，
∴平面₁ACC₁⊥平面ABC，
∵平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，CA⊥CB，CB?平面ABC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，∵AC₁?平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
∵侧面A₁ACC₁为菱形，∴A₁C⊥AC₁，
又∵A₁C?平面A₁BC，BC?平面A₁BC，A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC．
解：（2）以D为原点，过D作CB的平行线为x轴，以DC为y轴，以DA₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（1，2，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（1，2，0），
设平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
设平面A₁B₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=a+2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取c=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（-6，3，$\sqrt{3}$），
设锐二面角B-A₁C-B₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4}•\sqrt{48}}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°，
∴锐二面角B-A₁C-B₁的大小为60°．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判断，考查了二面角的计算，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．