Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）求PD与平面EFD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的判定定理证明线面平行．
（2）利用线面垂直的判定定理证明PB⊥平面EFD，得到∠PDF是PD与平面EFD所成的角．然后根据三角形的边角关系进行求解即可．

解答 证明：（1）连结AC，交BD于O，连结EO，
因为ABCD是正方形，点O是AC的中点，
在三角形PAF中，EO是中位线，
所以PA∥EO，
而EO?面EDB，且PA?面EDB，
所以PA∥平面EDB；
解：（2）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC
在底面正方形中，DC⊥BC，
所以BC⊥面PDC，而DE?面PDC，
所以BC⊥DE，
又PD=DC，E是PC的中点，所以DE⊥PC，
所以DE⊥面PBC，而PB?面PBC，
所以DE⊥PB，
又EF⊥PB，且DE∩EF=E，
所以PB⊥平面EFD．
则∠PDF是PD与平面EFD所成的角，
因为PD=DC=2，
所以BD=2$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{4+8}=\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
则$\frac{1}{2}$PD•BD=$\frac{1}{2}$PB•DF，
则DF=$\frac{PD•BD}{PB}$=$\frac{2×2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
PF=$\sqrt{P{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{4-（\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}）^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{8}{3}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则tan∠PDF=$\frac{PF}{DF}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及利用线面垂直得到线面所成的角，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．