Question

2．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），若函数f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（4）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．

解答 解：∵函数f（x）的图象关于直线x=2对称，
∴f（2+x）=f（2-x），
∴f（4）=f（0）=1；
设h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），则h′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
又∵f′（x）-f（x）＜0，
∴h′（x）＜0；
∴y=h（x）单调递减，
而当x=0时，h（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1；
不等式 f（x）＜e^x，即h（x）＜h（0），
解得：x＞0，
故不等式的解集为（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数h（x）是解题的关键，本题是一道中档题．