Question

10．已知函数f（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x²+kx，其中a∈R，k∈R且a≠0．
（I）若k=0，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a=1，若函数f（x）存在两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，问：曲线y=f（x）在点x₀处的切线能否与y轴垂直，若能，求出该切线的方程，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）对于能否问题，可先假设能，即设f（x）在（x₀，f（x₀））的切线垂直于y轴，其中f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+kx，结合题意，列出方程组，证得函数h（t）=lnt-$\frac{t-1}{t+1}$在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能垂直于y轴．

解答 解：（Ⅰ）k=0时，f（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x²，（x＞0，a≠0），
f′（x）=$\frac{a}{x}$-x=$\frac{a{-x}^{2}}{x}$，
a＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减；
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜a，令f′（x）＜0，解得：x＞a，
∴f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减；
（Ⅱ）a=1时，f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+kx，
若曲线y=f（x）在点x₀处的切线与y轴垂直，
则lnx₁-$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$+kx₁=0①，
lnx₂-$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+kx₂=0②，
x₁+x₂=2x₀③，
$\frac{1}{{x}_{0}}$-x₀=k④同时成立，
①-②得：ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）+k（x₁-x₂）=0，
将③代入得：k=x₀-$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$⑤，
由④⑤得：ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$⑥，
∵0＜x₁＜x₂，令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，则0＜t＜1，
⑥可化为：lnt=$\frac{t-1}{t+1}$，（0＜t＜1）⑦，
令h（t）=lnt-$\frac{t-1}{t+1}$，（0＜t＜1），
则h′（t）=$\frac{{t}^{2}+1}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
h（t）在（0，1）递增，h（t）＜h（1）=0，
∴lnt＜$\frac{t-1}{t+1}$与⑦矛盾，
∴曲线y=f（x）在点x₀处的切线与y轴不垂直．

点评 此题是个难题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，根据解题要求选择是否分离变量，体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法，同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．