Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.

（Ⅰ）若，求直线被曲线截得的线段的长度；

（Ⅱ）若，在曲线上求一点，使得点到直线的距离最小，并求出最小距离.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题（Ⅰ）由题意，得曲线的普通方程和直线的普通方程，联立方程组，解焦点，即可求解截曲线的线段长；

（Ⅱ）解法一：时，得直线的普通方程，由点到直线的距离公式，得到距离的表达式，转化为三角函数的性质，即可求解最小值.

试题解析：

（Ⅰ）曲线的普通方程为.

当时，直线的普通方程为.

由.解得或，

直线被曲线截得的线段的长度为.

（Ⅱ）解法一：时，直线的普通方程为.

由点到直线的距离公式，椭圆上的点到直线：的距离为

，

其中满足，.

由三角函数性质知，当时，取最小值.

此时，，.

因此，当点位于时，点到的距离取最小值.

解法二：当时，直线的普通方程为.

设与平行，且与椭圆相切的直线的方程为.

由消去并整理得.

由判别式，解得.

所以，直线的方程为，或.

要使两平行直线与间的距离最小，则直线的方程为.

这时，与间的距离 .

此时点的坐标为方程组的解.

因此，当点位于时，点到直线的距离取最小值.