Question

已知圆x²+y²-2ax-6ay+10a²-4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线L：y=x+m．
（1）若a=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；
（2）若m=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；
（3）若直线L是圆心C下方的切线，当a变化时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：先把圆C的方程化为标准方程，求出圆心C，半径r
（1）若a=2，则可求C，r，由弦AB过圆心时最长可求|AB|_max=2r，即可求
（2）先求出圆心C（a，3a）到直线x-y+2=0的距离d，若使弦长|AB|的最大值，则先表示出弦AB，然后根据二次函数的性质可求
（3）先求出圆心C（a，3a）到直线x-y+m=0的距离d，由直线L是圆心C的切线，可知d=r，从而可求m，a的关系，由a的范围可求m的范围

解答：解：圆C的方程可化为（x-a）²+（y-3a）²=4a
∴圆心C（a，3a0，半径r=2

a

（1）若a=2，则C（2，6），r=2

2

∵弦AB过圆心时最长
∴|AB|_max=4

2

（2）若m=2，则圆心C（a，3a）到直线x-y+2=0的距离
d=

|-2a+2|

2

=

2

|a-1|，r=2

a

直线与圆相交，∴d＜r，∴a²-4a+1＜0且0＜a≤4，
∴a∈(2-

3

，2+

3

)
又|AB|=2

r2-d2

=2

-2a2+8a-2

=2

-2(a-2)2+6

，
∴当a=2时，|AB|_max=2

6

，
（3）圆心C（a，3a）到直线x-y+m=0的距离d=

|-2a+m|

2

∵直线L是圆心C的切线，
∴d=r，即

|m-2a|

2

=2

a

，|m-2a|=2

2a

∴m=2a±2

2a

∵直线L是圆心C下方，
∴m=2a-2

2a

∵a∈（0，4]，
∴当a=时，m_min=-1；  当a=4时，m_max=8-4

2

，
故实数m的取值范围是[-1，8-4

2

]

点评：本题主要考查了圆的性质的应用，直线与圆相交关系的应用及点到直线距离公式的简单应用，属于圆的知识的综合应用