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    【题目】正三角形的边长为，将它沿高折叠，使点与点间的距离为，则四面体外接球的表面积为（ ）

    A. B. C. D.

    【答案】B

    【解析】

    四面体的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．

    根据题意可知四面体的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，

    三棱柱中，底面△BDC，BD＝CD＝1，BC，∴∠BDC＝120°，∴△BDC的外接圆的半径为1

    由题意可得：球心到底面的距离为，

    ∴球的半径为r．

    外接球的表面积为：4πr2＝7π

    故选：B．

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    （2）机器人在完成该指令后，发现在点处有一小球，正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令？（结果用反三角函数表示）

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    （1）若在上单调递增，求的取值范围；

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    （2）过双曲线上的任意一点，分别作这两条渐近线的平行线与这两条渐近线得到四边形，证明四边形的面积是一个定值；

    （3）设直线与在第一象限内与渐近线所围成的三角形绕着轴旋转一周所得几何体的体积．

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    【题目】已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的周长为.

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）若点A是第一象限内椭圆上一点，且在轴上的正投影为右焦点，过点作直线分别交椭圆于两点，当直线的倾斜角互补时，试问：直线的斜率是否为定值；若是，请求出其定值；否则，请说明理由.

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    【题目】已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值.

    （Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；

    （Ⅱ）设直线与点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求原点的直线的距离的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.

    表中，.

    （1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型？（不必说明理由）

    （2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；

    （3）若单位时间内煤气输出量与旋转的弧度数成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知为多少时，烧开一壶水最省煤气？

    附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为，

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    【题目】已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于、两点，且，如图1.

    （1）求圆的方程；

    （2）如图1，过点的直线与椭圆相交于、两点，求证：射线平分；

    （3）如图2所示，点、是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.

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    （1）已知为线段的中点，证明：平面；

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