Question

【题目】已知.

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）若有两个极值点，，，证明：（i）；（ii）.

Answer 1

【答案】（1）a≤6（2）见解析

【解析】

（1）f’(x)＝4ex＋2e－2x－a，转化为≥0求解，构造g(x)＝4ex＋2e－2x－a，求导求g(x)的最小值即可；（2）（ⅰ）由（1）设g(x)的两个零点为，，＜0＜，且a＞6．令h(x)＝g(x)－g(－x)，证明h(x)在(0，＋∞)上单调递减，当x＞0时，h(x)＜h(0)＝0，进而证明g()－g(－)＜0，从而g()＜g(－)，，得＋＞0；（ⅱ）证明f(x)＋f(－x)＝－(ex＋e－x－2)2＋6≤6．可得f()＜f(－)，所以＜6．

（1）f’(x)＝4ex＋2e－2x－a，

令g(x)＝4ex＋2e－2x－a，则g’(x)＝4ex－4e－2x，

显然g’(x)在(－∞，＋∞)单调递增，且g(0)＝0，

所以当x∈(－∞，0)时，g’(x)＜0，g(x)单调递减；

当x∈(0，＋∞)时，g’(x)＞0，g(x)单调递增．

所以g(x)的最小值为g(0)＝6－a，即f’(x)的最小值为6－a，

要使f(x)为单调增函数，则有f’(x)≥0，

所以6－a≥0，故a≤6．

（2）证明：

（ⅰ）由（1）得g(x)的两个零点为，，＜0＜，且a＞6．

f(x)在(－∞，)和(，＋∞)上单调递增，在(，)上单调递减．

令h(x)＝g(x)－g(－x)，

则h’(x)＝g’(x)＋g’(－x)

＝4ex－4e－2x＋4e－x－4e2x

＝4[－(ex＋e－x)2＋(ex＋e－x)＋2]

＝4[2－(ex＋e－x)][1＋(ex＋e－x)]＜0，

所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，当x＞0时，h(x)＜h(0)＝0．

所以g()－g(－)＜0，从而g()＜g(－)，

又g)＝g()＝0，所以g()＜g(－)，

因为g(x)在(－∞，0)上单调递减，，－∈(－∞，0)，

所以＞－，故＋＞0．

（ⅱ）f(x)＋f(－x)＝4ex－e－2x＋4e－x－e2x＝－(ex＋e－x)2＋4(ex＋e－x)＋2

＝－(ex＋e－x－2)2＋6≤6．

由（ⅰ）得＋＞0，所以＞－＞0，

由f(x)在(，)上单调递减，可得f()＜f(－)，

从而有f()＋f()＜f()＋f(－)≤6，

所以f()＋f()＜6．