【题目】如图,已知四棱锥的底面为边长为2的菱形,平面,,,为棱上一点,且.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2)(3)
【解析】
(1)由平面得,又底面为菱形可得,则平面,从而;
(2)设菱形的对角线交点为,以为原点,分别以、的方向为,轴建立空间直角坐标系,借助空间向量求出平面法向量的夹角,从而求出答案;
(3)由图可知,由题意可知三棱锥的高为,由此可求出答案.
解:(1)因平面,故,
又因底面为菱形,故,
又,平面,
∴平面,
而平面,
∴;
(2)设菱形的对角线交点为,因,平面,
以为原点,分别以、的方向为,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
∴,,
,,
∴平面和平面的一个法向量分别为,,
∴,
由图可知二面角的平面角为锐角,
∴二面角的余弦值为.
(3)由图可知,,
因,可知三棱锥的高为,
∴.
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【题目】函数和都是定义在上的单调减函数,且,若对于任意,存在,,使得成立,则称是在上的“被追逐函数”,若,下述四个结论中正确的是( )
①是在上的“被追逐函数”;
②若和函数关于轴对称,则是在上的“被追逐函数”;
③若是在上的“被追逐函数”,则;
④存在,使得是在上的“被追逐函数”.
A.①③④B.①②④C.②③D.①③
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【题目】如图,在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1,l2,一自然景观的边界近似为圆形,其半径约为1千米,景观的中心C到l1,l2的距离相等,点C到点O的距离约为10千米.现拟新建四条游览道路方便游客参观,具体方案:在线段OC上取一点P,新建一条道路OP,并过点P新建两条与圆C相切的道路PM,PN(M,N为切点),同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB(A,B分别在l1,l2上).为促进沿途旅游经济,新建道路长度之和越大越好,求新建道路长度之和的最大值.(所有道路宽度忽略不计)
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【题目】(本小题12分)
A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效。若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为。
(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率;
(Ⅱ) 观察3个试验组,用表示这3个试验组中甲类组的个数,求的分布列和数学期望。
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),以原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣2,0),B(0,﹣2),M是曲线C上任意一点,求△ABM面积的最小值.
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【题目】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,有下列四个结论:
①AP与CM是异面直线;②AP,CM,DD1相交于一点;③MN∥BD1;
④MN∥平面BB1D1D.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①④B.②④C.①④D.②③④
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