Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x-1（e≈2.71828）．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的极小值；
（Ⅱ）已知

3

2

＜a＜2且f（b）=g（a），f（c）=g（b），证明：a+b+c＞4．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由题意得h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x+1，则h′（x）=lnx，由此能求出函数h（x）=f（x）-g（x）的极小值．
（Ⅱ）由已知条件推导出b＞1，c＞1．a-b=h（b）＞h（1）=0，同理，b-c=h（c）＞0，则有1＜c＜b＜a＜2，设h（x）=

xlnx

x-1

，(1＜x＜2)，则h′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

，由此利用导数性质能证明a+b+c＞4．

解答： （Ⅰ）解：由题意得h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x+1，则h′（x）=lnx，
令h′（x）＞0，得x＞1，令h′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴h（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．
∴函数h（x）=f（x）-g（x）的极小值为h（1）=0．
（Ⅱ）证明：∵f（b）=f（a），又

3

2

＜a＜2，
∴blnb=a-1＞0，则lnb＞0，得b＞1．
同理由f（c）=g（b），得clnc=b-1＞0，则c＞1．
∵a-b=g（a）-g（b）=f（b）-g（b）=h（b），又b＞1，由（Ⅰ）知a-b=h（b）＞h（1）=0，
同理，b-c=h（c）＞0，则有1＜c＜b＜a＜2，
设h（x）=

xlnx

x-1

，(1＜x＜2)，则h′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

，
令ω（x）=x-1-lnx，1＜x＜2，
则ω′（x）=

x-1

x

＞0，故ω（x）＞ω（1）=0，
∴h′（x）＞0，h（x）在（1，2）上单调增加，
∴h（x）＜h（2）=ln4，∴4＜e

e

，
∴h（x）＜ln4＜

3

2

，
又

a-1

b-1

=

blnb

b-1

=h(b)，且1＜b＜2，则

a-1

b-1

=

blnb

b-1

=h(b)＜

3

2

，
同理，

b-1

c-1

=

clnc

c-1

=h(c)＜

3

2

，
则b-1＞

2

3

(a-1)＞

2

3

(

3

2

-1)=

1

3

，
c-1＞

2

3

(b-1)＞

2

3

•

1

3

＞

2

9

，
则a-1+b-1+c-1＞

1

2

+

1

3

+

2

9

=

19

18

＞1，
∴a+b+c＞4．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．