Question

已知函数f（x）=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B，

AB

=2

i

+2

j

（

i

，

j

分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量），函数g（x）=x²-x-6．
（1）求k、b的值；
（2）若af（x）-g（x）≤1对于任意的x∈（-2，4）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：（1）由直线与坐标轴的交点求得A，B的坐标，进一步得到

AB

的坐标，由坐标相等列式求得k，b的值；
（2）根据x的范围求得f（x）的范围，把af（x）-g（x）≤1转化为a≤

g(x)+1

f(x)

，利用基本不等式求最值后得答案．

解答： 解：（1）由已知得A（-

b

k

，0），B（0，b），
则

AB

=（

b

k

，b），
又

AB

=2

i

+2

j

，
于是

b

k

=2，b=2．
∴k=1，b=2；
（2）f（x）=x+2，当x∈（-2，4）时，x+2＞0，
则af（x）-g（x）≤1对于任意的x∈（-2，4）恒成立等价于：
a≤

g(x)+1

f(x)

恒成立，
∵

g(x)+1

f(x)

=

x2-x-5

x+2

=x+2+

1

x+2

-5，
∴当-2＜x＜4时0＜x+2＜6，

g(x)+1

f(x)

≥-3，
其中当且仅当x+2=1，即x=-1时等号成立．
∴

g(x)+1

f(x)

的最小值是-3．
∴a的取值范围为（-∞，-3]．

点评：本题考查了平面向量的应用，考查了分离变量法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．