Question

（2009•金山区一模）已知点A（-1，0），点B （1，0），点P（x+1，y）在x轴的下方，设a=

PA

•

PB

，b=

AP

•

AB

，c=

BP

•

BA

，d=|

AB

|，且

.

a b c d

.

=0．
（1）求a、b、c关于x、y的表达式；
（2）求y关于x的函数关系式y=f（x），并求当y取得最小值时P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）因为

PA

=（-x-2，-y），

PB

=（-x，-y），

AP

=（x+2，y），

AB

=（2，0），

BP

=（x，y），

BA

=（-2，0），由此能求出a、b、c关于x、y的表达式．
（2）因为

.

a b c d

.

=0，所以3x²+y²+6x=0，由于点P（x+1，y）在x轴的下方，所以y=-

-3x2-6x

，（-2＜x＜0），y=-

-3x2-6x

=-

-3(x+1)2+3

，（-2＜x＜0）．由此能求出当y取得最小值时P点的坐标．

解答：解：（1）因为

PA

=（-x-2，-y），

PB

=（-x，-y），
所以a=

PA

•

PB

=x²+y²+2x，…（2分）

AP

=（x+2，y），

AB

=（2，0），b=

AP

•

AB

=2x+4，…（3分）

BP

=（x，y），

BA

=（-2，0），c=

BP

•

BA

=-2x，…（4分）
d=|

AB

|=2，…（5分）
（2）因为

.

a b c d

.

=0，所以2（x²+y²+2x）-（2x+4）（-2x）=0，即：3x²+y²+6x=0，…（7分）
由于点P（x+1，y）在x轴的下方，所以y=-

-3x2-6x

，（-2＜x＜0）
y=-

-3x2-6x

=-

-3(x+1)2+3

，（-2＜x＜0）…（10分）
所以当x=-1时，y_min=-

3

，此时P（0，-

3

）…（12分）

点评：本题考查矩阵现向量乘法的意义和应用，解题时要认真审题，注意平面向量的数量积公式的灵活运用．