Question

已经函数f(x)=

cos2x-sin2x

2

，g(x)=

1

2

sin2x-

1

4

.
（Ⅰ）函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象经过怎样变化得出？
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值，并求使用h（x）取得最小值的x的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用诱导公式把函数f（x）中余弦函数转化成正弦函数，进而利用图象平移的法则，求得答案．
（Ⅱ）把函数f（x）和g（x）的解析式代入h（x）中，利用两角和公式化简整理，进而根据余弦函数的性质求得函数的最小值以及此时x的集合．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

2

cos2x=

1

2

sin(2x+

π

2

)=

1

2

sin2(x+

π

4

)，
所以要得到f（x）的图象只需要把g（x）的图象向左平移

π

4

个单位长度，再将所得的图象向上平移

1

4

个单位长度即可．
（Ⅱ）h(x)=f(x)-g(x)=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x+

1

4

=

2

2

cos(2x+

π

4

)+

1

4

．
当2x+

π

4

=2kπ+z（k∈Z）时，h（x）取得最小值-

2

2

+

1

4

=

1-2 2

4

．
h（x）取得最小值时，对应的x的集合为{x|x=kπ+

3π

8

，k∈Z}．

点评：本题主要考查了三角函数中恒等式变换应用，两角和公式，图象的平移等知识点．三角函数中公式多且复杂，平时应注意多积累．