Question

8．如图，在矩形ABCD中，$AB=6，BC=2\sqrt{3}$，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使点A移至点P，且点P在平面BCD上的射影O在DC上，
（1）求证：BC⊥PD；
（2）若M为PC的中点，求二面角B-DM-C的大小．

Answer 1

分析 （1）由OP⊥平面BCD得出BC⊥OP，结合BC⊥CD得出BC⊥平面PCD，故而BC⊥PD；
（2）以O为原点建立坐标系，求出两平面的法向量，根据法向量的夹角得出二面角的大小．

解答 证明：（1）∵OP⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴OP⊥BC，又BC⊥CD，CD?平面PCD，OP?平面PCD，OP∩CD=O，
∴BC⊥平面PCD，又PD?平面PCD，
∴BC⊥PD．
（2）∵PD⊥BC，PD⊥PB，∴PD⊥平面PBC，
∴PD⊥PC，∴PC=$\sqrt{C{D}^{2}-P{D}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，∴PO=$\frac{PD•PC}{CD}$=2$\sqrt{2}$，OD=$\sqrt{P{D}^{2}-O{P}^{2}}$=2，OC=4．
以O为原点，以平行于BC的直线为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），P（0，0，2$\sqrt{2}$），D（0，-2，0），C（0，4，0），B（2$\sqrt{3}$，4，0），M（0，2，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{DB}$=（2$\sqrt{3}$，6，0），$\overrightarrow{DM}$=（0，4，$\sqrt{2}$），
设平面DBM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x+6y=0}\\{4y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，2$\sqrt{2}$），
∵BC⊥平面PCD，∴$\overrightarrow{CB}$=（2$\sqrt{3}$，0，0）为平面CDM的一个法向量，
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{1}{2}$．
∴二面角B-DM-C的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，二面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．