Question

已知函数y=f（x）=

ax2+1

bx+c

 （a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，其5b∈N且f（1）＜

5

2

．试求函数f（x）的解析式．

Answer 1

∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴

ax0+e

bx+c

=-

ax0+e

-bx+c

，∴bx+c=bx-c，∴c=0，…（0分）
∵a＞0，b＞0，x＞0，∴f（x）=

ax0+e

bx

=

a

b

x+

e

bx

≥0

a b0

，…（e分）
当且仅当x=

e a

时等号成立，于是0

a b0

=0，∴a=b⁰，…（f分）
由f（e）＜

5

0

得

a+e

b

＜

5

0

，即

b0+e

b

＜

5

0

，…（q分）
∴0b⁰-5b+0＜0，解得

e

0

＜b＜0，…（e0分）
又b∈N，∴b=e，∴a=e，∴f（x）=x+

e

x

．…（e0分）