Question

设f（x）的定义域为R⁺，对任意x、y∈R⁺，都有f（

x

y

）=f（x）-f（y），且x＞1时，f（x）＜0，又f（

1

2

）=1．
（1）求证：f（x）在定义域单调递减；
（2）解不等式f（x）+f（5-x）≥-2．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据单调性的定义：设x₁＞x₂＞0，及已知条件即可判断出f（x₁）-f（x₂）的符号，从而证出f（x）在定义域单调递减；
（2）根据已知条件可求出f（2）=-1，所以原不等式可变成f（x）+f（5-x）≥2f（2），所以根据f（x）的单调性及定义域即可解出该不等式．

解答： 解：（1）设x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1；
由已知条件得：f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

)＜0；
∴f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减；
（2）取x=y=1，则f（1）=0，∴f（

1

2

）=f（1）-f（2）=-f（2）=1；
∴f（2）=-1，2f（2）=-2；
∴原不等式变成：f（x）+f（5-x）≥2f（2）；
∴f（x）-f（2）≥f（2）-f（5-x）；
∴f(

x

2

)≥f(

2

5-x

)；
∴根据f（x）的定义域及单调性得：

x＞0 5-x＞0 x 2 ≤ 2 5-x

，解得1≤x≤4；
∴原不等式的解集为：[1，4]．

点评：考查函数的定义域，单调性的定义及根据定义证明函数单调性的过程，根据函数单调性解不等式．