Question

【题目】已知函数（其中是自然对数的底数)）．

（1）若是函数的极值点，求实数的值并讨论的单调性；

（2）若，函数有两个零点，，证明：．

Answer 1

【答案】（1）；在单调递减，在单调递增；（2）详见解析．

【解析】

（1）由得到，所以，分，两种情况讨论即可得到的单调性；

（2），当时，函数在上单调递增，不存在两个零点，当时，，，，不妨设，令，则，，，，欲证，只需证明，再构造函数证明即可.

（1），因为是函数的极值点，

所以，所以，所以．

当时，，，所以，

当时，，，所以，

所以在单调递减，在单调递增．

（2）．

当时，函数在上单调递增，不存在两个零点，∴．

由题意知，，

∴，，，，

可得，

不妨设，令，则．

由，解得，，

∴．

欲证，只需证明，即证，

设，则．

设，则，∴单调递增．

∴，即，∴在区间上单调递增，

∴，即，原不等式得证．